说明
本文参考以下文献, 比如说例子、习题,我怎么编?
在下文笔较烂, 恐贻笑大方。 不过因为是markdown 写的, 有不足, 改进比较方便, 所以欢迎提出意见及建议,找出问题, 谢谢。
假设读者已经熟悉基本的概率概念、 概率几大公理, 掌握古典概率计算方法。
概念引入
学了条件概率、 乘法法则, 有什么感觉吗? 估计也没什么感觉, 很直观嘛, 现在穿越回去, 我也能当数学家——不对, 还得加强下英文、法文或德文。
而且条件概率包打天下, 无所不能吗? 中国乒乓球队夺不夺冠跟国足出不出线 存在条件概率关系吗?是个中国人都知道,没什么关系。
这样我们就需要一个新的概念,事件的独立性,直观含义很明显了,接下来就是抽象成数学概念, 用数学来表达, 并介绍一下应用等等。
常见讲解
像国防科大基于生男孩生女孩概率这种计算简单,得出结论。好处是简单,坏处是太简单, 容易让人觉得,复杂情况会不会出错。
MIT沿着一棵概率生成树把条件概率、乘法法则、全概率公式、贝叶斯法则复习一遍,最后得出结论。 好处是复习了, 但说这种就融会贯通了?这例子也不是十分复杂, 靠这就融会贯通,简直超神了。
其他教材估计也差不多, 类似。甚至连例子都没有,直接给结论的
MIT 6.041x Introduction to Probability 这个是别人分享的视频,请看unit 2 的 lec3 的0、1、2三个视频。 或者中国大学MOOC上看那个,或随便找一本书。
你觉得他们的讲法很好吗(就这个概念引入而言)?
A. MIT当然是完美的
B. 久经考验的讲法当然很好
C. 不好
D. 垃圾,渣渣
试着去抽象
我觉得以上两家(水平甩我甩出一光年)的问题在于,他们用的是证明的方法来给出概念,但证明是知道起点和终点的,他们等于是知道了独立性的结论、定义,才能有意识地沿着某条路走到终点。
现在我们不知道结论,不知道定义,没有一丝头绪,不能用证明的方法来搞这个。
我们要从直观思维提炼出严谨的表达, 从一个简单的抽象开始, 然后不断精炼。既锻炼对事物进行抽象的能力,又培养不断探索、不断改进的习惯。因为科学理论一开始基本是不完备的,后面慢慢改进,不要习惯上觉得出错是丢脸的事。
这个过程可以叫 科学方法(scientific method) 好像也要系统方法(systematic method) 链接见scientific method steps
抽象第一步
某某那个酷,控制不住自己说广告词。
从直观开始,独立性是——两个事件A和B没什么关系,A、B发生的概率互不影响。
什么意思呢?不影响 -> 不变化 -> P(A) 或 P(B) 不变
P(A)相对谁不变?
有假设了
我们就得到一个结论, 两个事件独立,意味着 P(A) = P(A|B)。 当然P(B) = P(B|A) 也对。 反向不成立的情况存不存在?就算存在也超纲了。
有假设下一步干嘛?
例子验证
验证 P(A) = P(A|B),省略, 请看上面的课程, 反正就一两个例子, 也没特别的证明过程。
猜猜完了吗?
A. 完了
B. 没有
完了?
P(A) = P(A|B) 挺好的,但会不会有什么问题?
A. P(B|A)=P(B)一定成立?
B. 不够直观
C. 不够简单
再归纳、更一般化
没错, P(A) = P(A|B) 总会让人怀疑它只表示了“A独立于B”,那 P(B|A)=P(B)么? 独立性要的是AB互相独立(默认)。
所以式子里的A和B要同等的地位。 然后我也编出来了。
唯一可以变形的公式是 P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)
代入,得一个标准的独立性定义:
若P(A∩B)=P(B)⋅P(A), 则称事件A,B独立(independent)。
推广
若A与B独立, 则A与B逆, A逆与B, A逆与B逆都独立。
完了?
P(A) = P(A|B) 挺好的,但会不会有什么问题?
{%radio|&P(B|A)=P(B)一定成立?&不够直观&不够简单%}
再归纳、更一般化
没错, P(A) = P(A|B) 总会让人怀疑它只表示了“A独立于B”,那 P(B|A)=P(B)么? 独立性要的是AB互相独立(默认)。
所以式子里的A和B要同等的地位。 然后我也编出来了。
唯一可以变形的公式是 P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)
代入,得一个标准的独立性定义:
若P(A∩B)=P(B)⋅P(A), 则称事件A,B独立(independent)。
推广
若A与B独立, 则A与B逆, A逆与B, A逆与B逆都独立。
互斥与独立
首先, 先来个问题, 两互斥事件 独立吗?
A. 独立
B. 不独立
分析
目前没能实现用户完成多步推导的 指导功能。要在大文本框里写很多行, 各行去判断——哎哟喂。
就根据独立性的定义, 不外乎算两个, P(AB) 和 P(A)*P(B)
互斥事件P(AB) = 0, P(A)*P(B) 两个都是概率事件P>0, 所以 P(A)*P(B)>0。
当然大家应该能理解,只是需要这么明确地说出来,不然直观认识是很可能模糊的。再来解释下。
从概率上说, 俩事件互斥其实就是一种信息, 知道了A或B的成立,就知道B或A 一定不会成立。 我们又可以看到条件概率的意义, 知道新的信息后, 概率发生变化,也可以说是观点发生变化。
猜猜完了吗?
A. 完了
B. 没有
完了?
P(A) = P(A|B) 挺好的,但会不会有什么问题?
{%radio|&P(B|A)=P(B)一定成立?&不够直观&不够简单%}
再归纳、更一般化
没错, P(A) = P(A|B) 总会让人怀疑它只表示了“A独立于B”,那 P(B|A)=P(B)么? 独立性要的是AB互相独立(默认)。
所以式子里的A和B要同等的地位。 然后我也编出来了。
唯一可以变形的公式是 P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)
代入,得一个标准的独立性定义:
若P(A∩B)=P(B)⋅P(A), 则称事件A,B独立(independent)。
推广
若A与B独立, 则A与B逆, A逆与B, A逆与B逆都独立。
互斥与独立
首先, 先来个问题, 两互斥事件 独立吗?
{%radio|&独立&不独立%}
分析
目前没能实现用户完成多步推导的 指导功能。要在大文本框里写很多行, 各行去判断——哎哟喂。
就根据独立性的定义, 不外乎算两个, P(AB) 和 P(A)*P(B)
互斥事件P(AB) = 0, P(A)*P(B) 两个都是概率事件P>0, 所以 P(A)*P(B)>0。
当然大家应该能理解,只是需要这么明确地说出来,不然直观认识是很可能模糊的。再来解释下。
从概率上说, 俩事件互斥其实就是一种信息, 知道了A或B的成立,就知道B或A 一定不会成立。 我们又可以看到条件概率的意义, 知道新的信息后, 概率发生变化,也可以说是观点发生变化。
{%radio|猜猜完了吗?&完了&没有%}
恭喜
独立性的基础部分大概就这么多。后面还有:
- 条件独立
- 多事件独立
- 应用分析事例